mindscience.e3nn.o3.spherical_harmonics

mindscience.e3nn.o3.spherical_harmonics(l, x, normalize=True, normalization='integral')

计算球面谐波。

球面谐波是在三维空间上的多项式：

\[Y^l: \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^{2l+1}\]

通常限制在单位球面上（当 normalize=True）：

\[Y^l: S^2 \longrightarrow \mathbb{R}^{2l+1}\]

满足以下性质：

• 是笛卡尔坐标 x, y, z 的多项式；

• 等变：\(Y^l(R x) = D^l(R) \, Y^l(x)\)；

• 正交：\(\int_{S^2} Y^l_m(x) \, Y^j_n(x) \, dx = \text{cste} \, \delta_{lj} \, \delta_{mn}\)，常数取值依赖归一化选择。

并满足如下递推性质：

\[\begin{split}Y^{l+1}_i(x) = \text{cste}(l) \, C_{ijk} \, Y^l_j(x) \, x_k \\ \partial_k Y^{l+1}_i(x) = \text{cste}(l) \, (l+1) \, C_{ijk} \, Y^l_j(x)\end{split}\]

其中 \(C\) 为 wigner_3j。

参数：

• l (Union[int, list[int]]) - 球面谐波的阶数。

• x (Tensor) - 构造球面谐波的张量，形状为 (..., 3) 的张量。

• normalize (bool, 可选) - 是否在投影到球面谐波之前将 x 归一化为位于球面上的单位向量。默认值：True。

• normalization (str, 可选) - {'integral', 'component', 'norm'}，输出张量的归一化方法。默认值：'integral'。

  • 'component'：\(\|Y^l(x)\|^2 = 2l+1, \; x \in S^2\)

  • 'norm'：\(\|Y^l(x)\| = 1, \; x \in S^2\)，即 component / sqrt(2l+1)

  • 'integral'：\(\int_{S^2} Y^l_m(x)^2 \; dx = 1\)，即 component / sqrt(4pi)

返回：

Tensor，球面谐波 \(Y^l(x)\)，张量形状为 (..., 2l+1)。

异常：

• ValueError - 如果 normalization 不在 {'integral', 'component', 'norm'} 中。

• ValueError - 如果 SphericalHarmonics 的 irreps_in 既不是向量 (1x1o) 也不是伪向量 (1x1e)。

• ValueError - 如果球谐函数的 irreps_out 的 l 和 p 与 irreps_in 不一致，输出奇偶性应满足 p = input_p**l。

• ValueError - 如果张量 x 的形状不是 (..., 3)。

• NotImplementedError - 如果 l 大于 11。